已知函數(shù)f(x)=
ax
x-1
(a≠0)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上的值域．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)=
ax1
x1-1
-
ax2
x2-1
=
ax1(x2-1)-ax2(x1-1)
(x1-1)(x2-1)
=
a(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)

∵x1-1＜0，x2-1＜0，a（x1-x2）＜0
∴
a(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
＞0，得f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
同理可得，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）得f（x）=
x
x-1
在（-1，1）上是減函數(shù)
∴函數(shù)f（x在[-
1
2
，
1
2
]上也是減函數(shù)，其最小值為f（
1
2
）=-1，最大值為f（-
1
2
）=
1
3

由此可得，函數(shù)f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上的值域?yàn)閇-1，
1
3
]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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