Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)及曲線C的普通方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A且斜率為1的直線1與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （1）由由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A的直角坐標(biāo)；運(yùn)用同角的平方關(guān)系cos²α+sin²α=1，可得曲線C的普通方程；
（2）求得曲線C為圓心（3，4），半徑為5的圓，以及直線l的一般式方程，可得圓心到直線的距離，再由弦長(zhǎng)公式|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-o8you6e^{2}}$，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：
A的直角坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$），即為（2，2）；
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
由cos²α+sin²α=1，可得曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-4）²=25；
（2）由（1）可得曲線C為圓心（3，4），半徑為5的圓，
過(guò)點(diǎn)A（2，2）且斜率為1的直線1的方程為y-2=x-2，即為x-y=0，
可得圓心C（3，4）到直線x-y=0的距離為d=$\frac{|3-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有弦長(zhǎng)|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-ugagyuy^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{1}{2}}$=7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化，注意運(yùn)用同角的平方關(guān)系，考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．