Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點．
因為E是AB的中點，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．
又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h），
=（，-2，0），=（0，-1，h），設(shè)平面PEC的法向量為=（x，y，z）．
則，∴，
令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），
∴cos＜，＞==＜1，
∴在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為．
分析：（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；
（II）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為．再通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積求出二面角P-EC-D的大小，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點評：本題考查存在性問題，直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．