Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，，設(shè)b_n=a_2n-2，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1，試比較S_n與T_n的大小．

Answer 1

解：（1）a₂=，a_2n==+2n-1=，∵b_n=a_2n-2，
∴b₁=a₂-2=1.5-2=-0.5，
b_n-1=a_2n-2-2，即a_2n-2=c_n-1+2

=
=，
所以{b_n}是首項為b₁=-0.5，公比為q=的等比數(shù)列其通項公式為．
（2）∵，
∴S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=
=
=1-．∵a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=1+2×-2n（n-1）=1+-2n（n-1）=．
∴S_n＞T_n．
分析：（1）a₂=，a_2n==，由b_n=a_2n-2，能導(dǎo)出{b_n}的通項公式．
（2）由，知S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|==1-．由a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），知T_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=．由此能夠?qū)С鯯_n＞T_n．
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．