Question

已知二項式(

x

+

1

3 x

)n的展開式中第4項為常數(shù)項，則1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²項的系數(shù)為（　�。�

A．-19

B．19

C．20

D．-20

Answer 1

分析：利用二項式定理的通項公式以及展開式中第4項為常數(shù)項，求出n，然后表示出1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²項通過組合數(shù)的性質(zhì)，求出結(jié)果．

解答：解：因為二項式(

x

+

1

3 x

)n的展開式的通項公式，
Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

1

3 x

)r=

C

r n

x

n-r

2

-

r

3

，
展開式的第4項為常數(shù)項，所以

n-r

2

-

r

3

=0，r=3，
所以，n=5，
則1+（1-x）²+（1-x）³+（1-x）⁴+（1-x）⁵中
x²項的系數(shù)為：C₂²+C₃²+C₄²+C₅²=1+3+6+10=20．
故選C．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查二項式特定項系數(shù)的求法，考查計算能力．