Question

已知二項(xiàng)式(

x

+

1

3 x

)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²項(xiàng)的系數(shù)為（　　）

A．-19

B．19

C．20

D．-20

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式以及展開(kāi)式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求出n，然后表示出1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²項(xiàng)通過(guò)組合數(shù)的性質(zhì)，求出結(jié)果．

解答：解：因?yàn)槎��?xiàng)式(

x

+

1

3 x

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，
Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

1

3 x

)r=

C

r n

x

n-r

2

-

r

3

，
展開(kāi)式的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以

n-r

2

-

r

3

=0，r=3，
所以，n=5，
則1+（1-x）²+（1-x）³+（1-x）⁴+（1-x）⁵中
x²項(xiàng)的系數(shù)為：C₂²+C₃²+C₄²+C₅²=1+3+6+10=20．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查二項(xiàng)式特定項(xiàng)系數(shù)的求法，考查計(jì)算能力．