Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（n∈N^*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)（k∈N^*）．
①證明：；
②求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由，
得（n+1）a_n=na_n+1．
若存在a_m=0（m＞1），由ma_m-1=（m-1）a_m，m≠0，得a_m-1=0，
從而有a_m-2=0，，a₂=0，a₁=0，與a₁=1矛盾，所以a_n≠0．
從而由（n+1）a_n=na_n+1得，
得．
（Ⅱ）證明：∵4n²-1＜4n²，
∴（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．
∴，
∴．
分析：（Ⅰ）由題意可知（n+1）a_n=na_n+1．若存在a_m=0（m＞1），可推出a_m-1=0，從而a₁=0，與a₁=1矛盾，所以a_n≠0．由（n+1）a_n=na_n+1得，所以．
（Ⅱ）由4n²-1＜4n²，得（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．所以，從而能夠證明
．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．