Question

設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線兩條漸近線分別為l₁，l₂，過F作直線l₁的垂線，分別交l₁，l₂于A、B兩點(diǎn)，且向量與同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，則雙曲線離心率e的大小為（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：由勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．
解答：解：不妨設(shè)OA的傾斜角為銳角
∵向量與同向，
∴漸近線l₁的傾斜角為（0，），
∴漸近線l₁斜率為：k=＜1，
∴==e2-1＜1，
∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=|AB|，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列
∴|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，
由對稱性可知：OA的斜率為k=tan（-∠AOB），
∴=，∴2k²+3k-2=0，∴k=（k=-2舍去）；
∴=，∴==e²-1=，
∴e²=，
∴e=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，確定|OA|=|AB|，聯(lián)想到對應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．