Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R）．
（1）當-1＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-

a

x

，若至少存在一個x₀∈[1，4]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)定義域，分①當-1＜a≤0，②當0＜a＜1兩種情況討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）存在一個x₀∈[1，4]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，利用參數(shù)分離法，利用導(dǎo)數(shù)易求其最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a（1+

1

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

． 
設(shè)h（x）=ax²-2x+a
①當-1＜a≤0時，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則h（x）=ax²-2x+a（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減． 
②若0＜a＜1，△=4-4a²＞0，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

； 
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

；
即-1＜a≤0時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1+ 1-a2

a

，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．    
（2）因為存在一個x₀∈[1，4]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，4]時，a＞F（x）_min”．
對F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=

2(1-lnx)

x2

．
因為當x∈[1，e]時，F(xiàn)′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
當x∈[e，4]時，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在[e，4]上單調(diào)遞減．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，對于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．