Question

下列敘述中，正確的個數(shù)是（　�。�
①命題p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈R，x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一點，若

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，則O是△ABC的垂心；
③“M＞N”是“（

2

3

）^M＞（

2

3

）^N”的充分不必要條件；
④命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”；
⑤已知

a

=（2，-1），

b

=（m，m-1），則

a

和

b

的夾角為銳角充要條件為：m＞-1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：直接寫出命題的否定判斷①；
把給出的含向量數(shù)量積的等式移項變形，得到頂點與O點的連線垂直于對邊，從而說明命題②正確；
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性說明③錯誤；
直接寫出命題的逆否命題說明④正確；
舉反例說明命題⑤錯誤．

解答： 解：對于①，命題p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈R，x²-2＜0”，
∴命題①正確；
對于②，O是△ABC所在平面上一點，由

OA

•

OB

=

OB

•

OC

，得

OB

•(

OA

-

OC

)=0，即

OB

•

CA

=0，
∴OB⊥CA．
由

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，得

OC

•(

OB

-

OA

)=0，即

OC

•

AB

=0，
∴OC⊥AB．
則O為△ABC的垂心．命題②正確；
對于③，∵y=(

2

3

)x是實數(shù)集內(nèi)的減函數(shù)，
∴“M＞N”是“（

2

3

）^M＜（

2

3

）^N”的充分不必要條件．命題③錯誤；
對于④，命題“若x²-3x-4=0，則x=4”的逆否命題為“若x≠4，則x²-3x-4≠0”．
∴命題④正確；
對于⑤，當m=

2

3

＞-1時，

b

=(

2

3

，-

1

3

)，

a

=(2，-1)=3(

2

3

，-

1

3

)=3

b

，
則

a

和

b

的夾角為0°．
∴命題⑤錯誤．
故正確的命題是①②④共3個．
故選：C．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，解答②的關鍵是移項變形，由向量垂直得到線線垂直，通過舉反例說明命題⑤起到事半功倍的效果，是中檔題．