Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上．
（1）若橢圓C₁過點（

2

，0）和（0，2），求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷命題“若橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點，且這兩點總與坐標(biāo)原點構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的橢圓C₁恒過定點”的真假．若命題為真命題，求出定點坐標(biāo)，若為假命題，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先判定橢圓的焦點位置，然后根據(jù)橢圓C₁過點（

2

，0）和（0，2），可直接求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），根據(jù)橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點，且構(gòu)成直角三角形求出m與n的等式關(guān)系，最后消去n可得m（x²-y²）+y²-1=0對任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立，建立關(guān)系式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）因為2＞

2

，所以橢圓的焦點在y軸上
所以橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+

y2

4

=1
（2）命題“若橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點，
且這兩點總與坐標(biāo)原點構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的橢圓C₁恒過定點”的真命題．
設(shè)橢圓C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），設(shè)P（s，t）為圓C₂上任意一點，
則過點P的圓C₂的切線方程為sx+ty=1
因為橢圓C₂：x²+y²=1（在橢圓C₁內(nèi)）任意一條切線都與橢圓C₁交于兩點A、B，不妨設(shè)t≠0
由

mx2+ny2=1 sx+ty=1

得（mt²+ns²）x²-2nsx+n-t²=0
∵OA⊥OB，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，
∴m+n-1=0
所以滿足橢圓的方程mx²+（1-m）y²=1（0＜m＜1且m≠

1

2

）
即m（x²-y²）+y²-1=0對任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立
所以

x2-y2=0 y2-1=0

即x²=y²=1
所以，滿足條件的橢圓C₁恒過定點（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓恒過定點的問題是一道綜合題，同時考查了計算能力，運算求解能力．