Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC，PB的中點．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求四棱錐的體積V和截面ADMN的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AN⊥PB．再由線面垂直的性質(zhì)及底面為直角梯形得AD⊥平面PAB，從而得到AD⊥PB，由線面垂直的判定可得PB⊥平面ADMN，則PB⊥DM；
（2）求出底面直角梯形的面積，直接由棱錐體積公式求得四棱錐的體積V．證明ADMN為直角梯形并求其上底與下底長，求出高AN，再由梯形面積公式求解．

解答 （1）證明：∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，又∠BAD=90°，即BA⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN，則PB⊥DM；
（2）解：由AD=AB=2BC=2，得底面直角梯形ABCD的面積$S=\frac{BC+AD}{2}×AB=\frac{1+2}{2}×2=3$，
由PA⊥底面ABCD，得四棱錐P-ABCD的高h(yuǎn)=PA=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×3×2=2$．
由M，N分別為PC，PB的中點，得MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
又AD∥BC，故MN∥AD，由（1）得AD⊥平面PAB，
又AN?平面PAB，∴AD⊥AN，故四邊形ADMN是直角梯形，
在Rt△PAB中，$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}，AN=\frac{1}{2}PB=\sqrt{2}$，
∴截面ADMN的面積積$S=\frac{1}{2}（{MN+AD}）×AN=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+2}）×\sqrt{2}=\frac{{5\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．