函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},且滿足對于定義域內(nèi)任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)若f(2)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),解關(guān)于x的不等式f(2x-1)-3≤0.
分析:(Ⅰ)令x1=x2=1即可求得f(1)的值;
(Ⅱ)令x1=x2=-1可求得f(1)=0;再令x1=-1,x2=x,可求得f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱,從而可判定f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)依題意,可求得f(2x-1)≤f(8),利用f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),即可求得不等式f(2x-1)-3≤0的解集.
解答:解:(Ⅰ)∵對于定義域內(nèi)任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1得:f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0;
(Ⅱ)令x1=x2=-1得:f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=0;
再令x1=-1,x2=x,則f(-x)=f(x),
∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∴f(x)為偶函數(shù).
(Ⅲ) 令x1=x2=2⇒f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),
再令x1=4,x2=2⇒f(8)=f(4)+f(2)=2f(2)+f(2)=3f(2),
∵f(2)=1,
∴f(8)=3,
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)為偶函數(shù),
∴f(2x-1)≤f(8),
2x-1≠0
|2x-1|≤8

解得-
7
2
≤x<
1
2
1
2
<x≤
9
2

∴所求不等式的解集為{x|-
7
2
≤x<
1
2
1
2
<x≤
9
2
}.
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查賦值法的靈活應(yīng)用,突出函數(shù)奇偶性的判斷與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.
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12
(3-x)
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已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)
f(x+2)
x
的定義域?yàn)椋ā 。?/div>
A、[-1,0)∪(0,2]
B、[-3,0)
C、[1,4]
D、(0,2]

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