【題目】平面上有n個點,任意三點不共線,任意兩點之間連一條線段,并將每條線段染為紅色與藍色之一,稱三邊顏色相同的三角形為“同色三角形”.記同色三角形的個數(shù)為S.
(1)若,對于所有可能的染法,求S的最小值;
(2)若(整數(shù)),對于所有可能的染法,求S的最小值.
【答案】
【解析】
對于(),統(tǒng)一證明:S的最小值為.
因為共有個三角形,所以,非同色三角形有個.
稱兩條鄰邊(有一個公共點)同色的角為同色角.
接下來計算同色角的個數(shù).
一方面,同色角的個數(shù)為
.
另一方面,對于每個點A,由點A引出的條邊中,若一種顏色的邊有i條,則另一種顏色的邊有()條.
于是,以A為頂點的同色角的個數(shù)為,
其中,當,1時,.
設(shè).
從而,當時,嚴格單調(diào)下降.
則以A為頂點的同色角的個數(shù)至少為.
故.
下面的例子說明為S的最小值.
設(shè)這2k個點分別為.
將兩兩之間的連線染為紅色,兩兩之間的連線染為紅色.對于所有i、,將、之間的連線染為藍色,則不存在藍色三角形,且以中任意三個點為頂點的三角形均為紅色三角形,以中任意三個點為頂點的三角形均為紅色三角形.
因此,同色三角形的個數(shù)為
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【題目】隨機抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分140分之間),將他們的英語成績(單位:分)分成:,,,,六組,得到如圖所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:
(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;
(2)求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差;
(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,記這2人中成績低于130分的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(其中正視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側(cè)視圖為直角三角形,尺寸如圖所示).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)證明:BD∥平面PEC;
(3)線段BC上是否存在點M,使得AE⊥PM?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知分別為橢圓的左、右焦點,且橢圓經(jīng)過點和點,其中為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線橢圓于另一點,點在直線上,且.若,求直線的斜率.
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【題目】人的正常體溫在至之間,下圖是一位病人在治療期間的體溫變化圖.
現(xiàn)有下述四個結(jié)論:
①此病人已明顯好轉(zhuǎn);
②治療期間的體溫極差小于;
③從每8小時的變化來看,25日0時~8時體溫最穩(wěn)定;
④從3月22日8時開始,每8小時量一次體溫,若體溫不低于就服用退燒藥,根據(jù)圖中信息可知該病人服用了3次退燒藥.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.③④B.②③C.①②④D.①②③
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】為增強市民交通規(guī)范意識,我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處.現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示.
分組(單位:歲) | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | ||
① | ||
② | ||
合計 |
(1)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù);
(2)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機的交通意識”培訓(xùn)活動,從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,凡在該超市購物滿元的顧客,將獲得一次摸獎機會,規(guī)則如下:一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球,其中兩只是紅色,三只是綠色,顧客從袋子中一次摸出兩只球,若兩只球都是紅色,則獎勵元;共兩只球都是綠色,則獎勵元;若兩只球顏色不同,則不獎勵.
(1)求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率;
(2)記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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