Question

14．當x∈（0，3）時，關(guān)于x的不等式e^x-x-2mx＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{e-1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{e-1}{2}$）
• C． （e+1，+∞）
• D． （-∞，e+1）

Answer 1

分析 由題意可得2m+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，3）的最小值，求出f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：當x∈（0，3）時，關(guān)于x的不等式e^x-x-2mx＞0恒成立，
即為2m+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，3）的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當1＜x＜3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）在x=1處取得最小值e，
即有2m+1＜e，
可得m＜$\frac{e-1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，運用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和最值，考查運算能力，屬于中檔題．