Question

設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對集合D中的任意兩數(shù)x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數(shù)．
（1）試判斷f（x）=x²是否是其定義域上的β函數(shù)？
（2）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：f（x）不是定義在R上的β函數(shù)．
（3）設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數(shù)x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數(shù)．已知f（x）是定義在R上的α-β函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，記∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，對任意滿足條件的函數(shù)f（x），求∫的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)β函數(shù)的定義，對集合D中的任意兩數(shù)x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，可以用作差法證明f（x）=x²是否是其定義域上的β函數(shù)；
（2）利用特殊值發(fā)進(jìn)行判斷，只要有一個(gè)點(diǎn)不滿足即可；
（3）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]利用α-β函數(shù)的概念求得a_n=2n，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題；

解答：（1）解：∵f(

1

4

x1+

3

4

x2)-[

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)]=(

1

4

x1+

3

4

x2)2-(

1

4

x12+

3

4

x22)=-

3

16

x12-

7

16

x22+

3

8

x1x2
=-

3

16

(x1-x2)2-

5

8

x22＜0
∴對定義域中的任意兩數(shù)x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，
∴f（x）=x²是其定義域上的β函數(shù)；
（2）證明：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0
∴x₁=x₂=0時(shí)，f(

1

4

×0+

3

4

×0)=

1

4

f(0)+

3

4

f(0)
∴f（x）不是定義在R上的β函數(shù)．
（3）（Ⅱ） 對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函數(shù)，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么∫=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是α-β函數(shù)，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時(shí)∫=m²+m．
綜上所述，∫的最大值為m²+m．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的概念與最值及數(shù)列的求和，難點(diǎn)在于通過對α-β函數(shù)的理解轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題，屬于難題．