Question

已知數列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），定義b_n=a_n•lga_n，如果b_n是遞增數列，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由數列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），我們易得數列{a_n}的通項公式，進而給出數列{b_n}的通項公式，結合b_n是遞增數列，我們對a的分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論，即可求出滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：∵a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），
則

an

an-1

=a(n≥2)，
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ
b_n=a_n•lga_n=naⁿlga，
∵b_n是遞增數列，
∴對任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．
即（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga，對n∈N^*恒成立．
（1）當a＞1時，lga＞0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＞n，
則a＞

n

n+1

∵

n

n+1

＜1，
∴a＞

n

n+1

恒成立．
∴a＞1

（2）當0＜a＜1時，lga＜0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＜n，
則a＜

n

n+1

∵當n∈N^*時，

n

n+1

≤

1

2

，
∴0＜a＜

1

2

綜上實數a的取值范圍：a∈(0，

1

2

)∪(1，+∞)

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式及數列的函數特征，由遞推公式求出數列{a_n}的通項公式，進而給出數列{b_n}的通項公式是解答的基礎，利根據b_n是遞增數列，類比函數單調性的性質，求滿足條件的實數a的取值范圍是解答本題的關鍵．