Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．對(duì)任意x₀∈[0，1]，y=f（x）的圖象x=x₀處的切線的斜率為k，當(dāng)|k|≤1時(shí)，a的取值范圍是（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．[1，

  3

  ]
• C．(1，

  2

  ]
• D．[1，

  3

  )

Answer 1

分析：通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)的切線的斜率為k，利用|k|≤1，能求出a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R），
對(duì)任意x₀∈[0，1]，y=f（x）的圖象x=x₀處的切線的斜率為k，
∴k=f'（x）=-3x²+2ax，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|k|≤1，
∴-1≤-3x²+2ax≤1，

0≤ a 3 ≤1 |f′(1)|=|-3+2a|≤1 |f( a 3 )|= a2 3 ≤1

，或

a 3 ＞1 |f′(x)|=-3+2a≤1

，或

a 3 ＜0 |f′(1)|=|-3+2a|≤1

，
解得：1≤a≤

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線的斜率的關(guān)系，充要條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．