Question

設AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標原點，則k_AB•k_OM=

 

．

Answer 1

分析：設出A，B兩點的坐標求出中點M的坐標，根據題意表示出k_ABk_OM=

y 2 2 - y 1 2

x 2 2 - x 1 2

，再利用b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，代入可得答案．

解答：解：由題意得：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則中點M（

x1+ x2

2

，

y1+ y2

2

），
所以k_AB=

y2- y1

x2-x1

，k_OM=

y2+ y1

x2+x1

，
所以k_AB•k_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，
又因為點A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）在橢圓上
所以b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
所以得b²（x₂²-x₁²）+a²（y2²-y₁²）=0，
所以

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

b2

a2

．
故答案為-

b2

a2

．

點評：解決此類題目的關鍵是利用設而不求的方法，即設出點的坐標而不求點的坐標直接根據題意寫出表達式進行整體求解，此種方法在圓錐曲線部分常見．