設(shè)函數(shù)f(x)=
(x-a)2
x
．
（I）證明：0＜a＜1是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件；
（II）若x∈（-∞，0）時，滿足f（x）＜2a2-6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（I）對函數(shù)）f(x)=
(x-a)2
x
求導，得 
 f′(x)=
2(x-a)x-(x-a)2
x2
=
x2-a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2
，
先證充分性：若0＜a＜1，
∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增．
再說明非必要性：∵f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增，
∴f'（x）≥0對1＜x＜2恒成立
即
x2-a2
x2
≥0對1＜x＜2恒成立，
x2-a2≥0對1＜x＜2恒成立，
即a2≤x2對1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，∴1＜x2＜4，
∴a2≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞增的充分而不必要的條件 
（II）由（I）知f′(x)=
x2-a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2
，
令f'（x）=0，得x1=a，x2=-a
①當a=0時，f（x）=x，x∈（-∞，0）時，f（x）＜-6不能恒成立，不符合題意．
②當a＞0時，函數(shù)y=f（x）在（-∞，-a）上遞增，在（-a，0）上遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上的極大值為f（-a）
若x∈（-∞，0）時，f（x）＜2a2-6恒成立，
則需f（x）極大值=f（-a）＜2a2-6
即-4a＜2a2-6，
解得a＞1．
③當a＜0時，函數(shù)y=f（x）在（-∞，a）上遞增，在（a，0）上遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上的極大值為f（a）
此時x∈（-∞，0），
若滿足f（x）＜2a2-6恒成立，
則需f（x）極大值=f（a）=0＜2a2-6
解得a＜-
3

故若x∈（-∞，0）時，滿足f（x）＜2a2-6恒成立，實數(shù)a∈(-∞，-
3
)∪(1，+∞)
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列三個命題：
①函數(shù)f(x)=(
12
)x為R上的l高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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