Question

已知函數(shù)f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

（x＞0），（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜

1

2

時，討論f （x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調(diào)性，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因式分解后根據(jù)a的范圍判斷導(dǎo)函數(shù)在（0，1）、（

1

a

-1，+∞）、（1，

1

a

-1）內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)在這三個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調(diào)性，等價于f （x）在區(qū)間（a，a+1）內(nèi)至少有一個極值點．根據(jù)（Ⅰ）中求出的導(dǎo)函數(shù)，分a=

1

2

、a≥1和0＜a＜1且a≠

1

2

三種情況討論函數(shù)f （x）在區(qū)間（a，a+1）上的單調(diào)性及有極值時的a的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f （x）的定義域為（0，+∞）．
由f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

（x＞0），
得：f'（x）=-ax²+x+a-1=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＜0，
當(dāng)x∈（

1

a

-1，+∞）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＜0，
當(dāng)x∈（1，

1

a

-1）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＞0．
∴f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

在（0，1），（

1

a

-1，+∞）遞減；在（1，

1

a

-1）遞增；
（Ⅱ） f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調(diào)性等價于f （x）在區(qū)間（a，a+1）內(nèi)至少有一個極值點．
①當(dāng)a=

1

2

時，f′（x）=-

1

2

（x-1）²≤0⇒f （x）在（0，+∞）上遞減，不合題意； 
②當(dāng)a≥1時，f′（x）=0的兩根為x₁=1，x₂=

1

a

-1，∵x₁，x₂∉（a，a+1），故不合題意；
③當(dāng)0＜a＜1，且a≠

1

2

時，f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調(diào)性等價于：a＜1＜a+1或a＜

1

a

-1＜a+1
解a＜1＜a+1得：0＜a＜1．
解a＜

1

a

-1＜a+1得：

2

-1＜a＜

5 -1

2

．
∵0＜a＜1，且a≠

1

2

，∴0＜a＜1，且a≠

1

2

．
綜上可知，所求a的取值范圍是（0，

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，考查了函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)的條件及運(yùn)用該條件求解參數(shù)取值范圍的方法，此題屬難題．