Question

已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點(diǎn)，列方程能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）設(shè)x₂＞x₁≥1，推導(dǎo)出f（x₁）-f（x₂）=，由此能夠證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）要使不等式對(duì)任意的恒成立，只需，，由此能求出a的取值集合．
解答：解：（1）∵函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點(diǎn)，
∴，解得a=1，b=1，
∴．…..（3分）
（2）設(shè)x₂＞x₁≥1，則
=，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．   …（6分）
（3）要使不等式對(duì)任意的恒成立，
只需，，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
同理可證f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查實(shí)數(shù)的取值集合的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意定義法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．