Question

已知f（x）=x³-x²-2x+c，常數(shù)c是實數(shù)．
（I）當f（x）取得極小值時，求實數(shù)x的值；
（II）當-1≤x≤2時，求f（x）的最大值．
（II）當-1≤x≤2時，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得f′（x）=3x²-x-2所以方程f′（x）=3x²-x-2=0的兩個根為-和1，又因為當，當x＞1時，f′（x）＞0，所以可得到答案．
（II）f′（x）=3x²-x-2∵當x∈[-1，-）時，f′（x）＞0，當x時，f′（x）＜0，當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，由導數(shù)的幾何意義得到函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性可得當-≤x≤2時，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2處取到，可得f（2）＞f（-），所以f（x）的最大值為f（2）=2+c．
（III）當-1≤x≤2時，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²，所以f（2）＜c²即c²＞2+c．
解答：解：（I）∵f（x）=x³-x²-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2
∴方程f′（x）=3x²-x-2=0的兩個根為-和1，
∵當
當x＞1時，f′（x）＞0，
∴當x=1時，f（x）取得極小值．
 （II）由（I）知：f′（x）=3x²-x-2
∵當x∈[-1，-）時，f′（x）＞0，
當x時，f′（x）＜0，
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，
∴當x∈[-1，-）時，f（x）是增函數(shù)．
當x時，f（x）是減函數(shù)．
當x∈（1，2]時，f（x）是增函數(shù)．
所以當-≤x≤2時，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2處取到．
又因為f（）=，f（2）=2+c
所以f（2）＞f（-）
所以當-1≤x≤2時，f（x）的最大值為f（2）=2+c．
（III）當-1≤x≤2時，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²
所以f（2）＜c²即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)的最值，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題，這也是高考考查的熱點之一．