已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，當0≤x＜1時，0≤f(x)＜1．

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)判斷f(x)在[0，＋∞)上的單調性，并給出證明；

(3)若a≥0，且f(a＋1)≤，求實數(shù)a的取值范圍．

答案：
解析：

　　分析：因為xn·yn＝(x·y)n，又f(27)＝9，可以猜想f(x)的原型是冪函數(shù)y＝x，進而可猜想f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)．

　　解：(1)令y＝－1，則f(－x)＝f(x)·f(－1)．

　　因為f(－1)＝1，所以f(－x)＝f(x)，

　　所以f(x)為偶函數(shù)．

　　(2)函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．

　　證明如下：

　　若x≥0，則f(x)＝f(·)＝f()·f()＝[f()]2≥0．

　　設0≤x1＜x2，則0≤＜1，

　　且f(x1)＝f＝f·f(x2)．

　　因為當0≤x＜1時，0≤f(x)＜1，

　　所以0≤f＜1，

　　所以f(x1)＜f(x2)．

　　故函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．

　　(3)因為f(27)＝9，

　　又f(3×9)＝f(3)·f(9)＝f(3)·f(3)·f(3)＝[f(3)]3，

　　所以9＝[f(3)]3，

　　所以f(3)＝．

　　因為f(a＋1)≤，

　　所以f(a＋1)≤f(3)．

　　又因為3≥0，a＋1≥0，且函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

　　所以a＋1≤3，即a≤2，

　　又a≥0，故0≤a≤2．

　　點評：合理地運用條件賦予抽象函數(shù)的性質，借助于函數(shù)的單調性，巧妙地去掉函數(shù)符號，從而將抽象函數(shù)問題轉化為具體函數(shù)問題，在這個過程中要注意問題的等價轉化．同時，適當?shù)刭x值也是研究抽象函數(shù)的常用方法，在解題中必須予以重視．

　　總之，解決抽象函數(shù)問題，可以將它與學過的具體函數(shù)聯(lián)系起來，尋求函數(shù)的原型．適當?shù)刭x值也是得到一些基礎結論的好方法．只要我們在學習中不斷總結，富于聯(lián)想，抽象函數(shù)問題就不那么抽象了．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源：北京市海淀區(qū)2012屆高三下學期期中練習數(shù)學文科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)＝則f(f(x))＝________；

下面三個命題中，所有真命題的序號是________．

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

②任取一個不為零的有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對x∈R恒成立；

③存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))使得△ABC為等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試、理科數(shù)學(上海卷) 題型：044

若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m．

(1)若x2－1比1遠離0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(上海卷) 題型：044

若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性(結論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海高考真題 題型：解答題

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m，
(Ⅰ)若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
(Ⅱ)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab；
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

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