Question

如圖所示，橢圓C₁、C₂與雙曲線C₃、C₄的離心率分別是e₁、e₂與e₃、e₄，e₁、e₂、e₃、e₄的大小關(guān)系是（　�。�

A．e₂＜e₁＜e₃＜e₄

B．e₂＜e₁＜e₄＜e₃

C．e₁＜e₂＜e₃＜e₄

D．e₁＜e₂＜e₄＜e₃

Answer 1

分析：由圖可得橢圓C₁、C₂與雙曲線C₃、C₄具有相同的a值，根據(jù)兩個(gè)橢圓的短軸大小關(guān)系，算出e₁＞e₂；根據(jù)兩個(gè)雙曲線的張口大小關(guān)系，算出e₃＜e₄．最后根據(jù)雙曲線的離心率都大于1，而橢圓的離心率都小于1，得出e₁、e₂、e₃、e₄的大小關(guān)系．

解答：解：對(duì)于橢圓C₁、C₂，它們有相同的a值，設(shè)它們的短軸分別為2b₁和2b₂，焦距分別為2c₁和2c₂，
∵b₁＜b₂，∴c₁=

a2-b12

＞

a2-b22

=c₂，
可得

c1

a

＞

c2

a

，即e₁＞e₂；
對(duì)于雙曲線C₃、C₄，它們也有相同的a值，設(shè)它們的虛軸分別為2b₃和2b₄，焦距分別為2c₃和2c₄，
∵雙曲線C₃的張口小于雙曲線C₄的張口，
得雙曲線C₃的漸近線所夾的銳角要小于雙曲線C₄的漸近線所夾的銳角
∴

b3

a

＜

b4

a

，得b₃＜b₄，即

c32-a2

＜

c42-a2

由此可得c₃＜c₄，得

c3

a

＜

c4

a

，即e₃＜e₄．
∵e₁、e₂都小于1，e₃、e₄都大于1，
∴e₂＜e₁＜e₃＜e₄
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出具有公共a值的一組橢圓和雙曲線，討論它們離心率之間的大小關(guān)系，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．