Question

（本題滿分12分）

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足f(+f(x₂)=f(x₁)，且當(dāng)x＞1時，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判斷f(x）的單調(diào)性并加以證明；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(1)=0.

（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).

（3）{x| -9<x＜0或0<x＜9}.

【解析】(1)根據(jù)x₁,x₂取值的任意性，可令x₁=x₂,從而出現(xiàn)f(1),求出f(1)的值.

（2）本小題要用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,再根據(jù)題目條件可確定f(x₁)-f(x₂)＜0.從而可知f(x)是減函數(shù).

（3）解本小題的關(guān)鍵是利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則符號f.由于-2=f(3)+f(3)=f(9),所以不等式,轉(zhuǎn)化為不等式來求解即可.

（1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0. ……………………3分

（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,由于當(dāng)x＞1時，f(x)＜0,

所以f＜0,即f(x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).……………………7分

（3）由題意有f=f(x₁)-f(x₂)，則f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.…………9分由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，

由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x＜9. ……………………11分

又因為|x|>0,因此不等式的解集為{x| -9<x＜0或0<x＜9}.……………………12分