Question

形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤中（圖（1）是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖（2）是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖（3）是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（Ⅱ）用隨機(jī)變量ζ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)幾何概型的概率公式得到在三個(gè)圖形中，小球停在陰影部分的概率，因?yàn)槿齻�(gè)小球是否停在陰影部分相互之間沒(méi)有關(guān)系，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）根據(jù)一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，當(dāng)變量等于3時(shí)，表示三個(gè)小球都在陰影部分或三個(gè)小球都不在陰影部分，這兩種情況是互斥的，得到概率，分布列和期望．

解答：解：（I）“一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A₁、A₂、A₃，
由題意知，A₁、A₂、A₃互相獨(dú)立，
且P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，…（3分）
∴P（A₁ A₂ A₃）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

24

…（6分）
（II）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則
P（ξ=3）=P（A₁ A₂ A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）+P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）
=

1

2

×

1

4

×

1

3

+

1

2

×

3

4

×

2

3

=

7

24

，
P（ξ=1）=1-

7

24

=

17

24

． …（8分）
所以分布列為

ξ	1	3
P	17 24	7 24

…（10分）
數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

17

24

+3×

7

24

=

19

12

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的概率公式，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)典型的綜合題目，可以作為高考卷中的題目出現(xiàn)．