Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段AD上的一點(diǎn)，且$AF=\frac{3}{2}$．現(xiàn)將四邊形ABEF沿直線(xiàn)EF翻折，使翻折后的二面角A'-EF-C的余弦值為$\frac{2}{3}$．

（1）求證：A'C⊥EF；
（2）求直線(xiàn)A'D與平面ECDF所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接AC交EF于M點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可得$AC=\sqrt{5}，EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，以及$\frac{AM}{MC}=\frac{FM}{ME}=\frac{3}{2}$，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得：AM²+MF²=AF²，則AC⊥EF，再利用線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)即可證明．
（2）由（1）知，二面角A'-EF-C的平面角就是∠A'MC，即$cos∠A'MC=\frac{2}{3}$，根據(jù)余弦定理，可求得A'C=1，利用A'C²+MC²=A'M²，可得A'C⊥MC，可知A'C⊥平面ECDF，即可得出∠A'DC就是直線(xiàn)A'D與平面ECDF所成的角．

解答 （1）證明：連接AC交EF于M點(diǎn)，
由平面幾何知識(shí)可得$AC=\sqrt{5}，EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
以及$\frac{AM}{MC}=\frac{FM}{ME}=\frac{3}{2}$，則有$AM=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}，MC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，MF=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$，
故有AM²+MF²=AF²，則AC⊥EF，
于是，A'M⊥EF，CM⊥EF，
而A'M∩CM=M，故EF⊥平面A'MC，
而A'C?平面A'MC，故A'C⊥EF．
（2）解：由（1）知，二面角A'-EF-C的
平面角就是∠A'MC，
即$cos∠A'MC=\frac{2}{3}$，
根據(jù)余弦定理，可求得A'C=1，
因?yàn)锳'C²+MC²=A'M²，所以A'C⊥MC，
而A'C⊥EF，可知A'C⊥平面ECDF，
因此，∠A'DC就是直線(xiàn)A'D與平面ECDF所成的角．
由于A'C=CD=1，
故直線(xiàn)A'D與平面ECDF所成的角為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、空間角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．