Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=27，函數(shù)g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，2]，討論方程g（x）=λ+1的解的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件求出a，然后利用化簡g（x）=λ+1，得到λ的關(guān)系式，通過函數(shù)的定義域求出表達(dá)式的最值即可．

解答： 解：∵f（x）=3^x，∴f（a+2）=27，即3^a+2=27，解得a=1，
∴函數(shù)g（x）=λ•2^ax-4^x=λ•2^x-4^x，
g（x）=λ+1=λ•2^x-4^x，x∈[0，2]，2^x∈[1，4]
當(dāng)x≠0時，可得λ=

1+4x

2x-1

=2x+1+

2

2x-1

=2x-1+

2

2x-1

+2≥2+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=

2

2x-1

，時λ取得最小值．
x=2時，λ=

17

3

．
函數(shù)λ=

1+4x

2x-1

，x∈[0，2]，的圖象為：
當(dāng)

17

3

≥λ≥log2(1+

2

)，g（x）=λ+1的解的個數(shù)為2個．
當(dāng)λ＞

17

3

時，g（x）=λ+1的解的個數(shù)為一個．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)，方程的根的問題，運(yùn)用圖象，單調(diào)性解決即可，綜合性較大．