已知函數(shù)f(x)滿足對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且當(dāng)x>0時,f(x)>-1,f(1)=0.
(1)求f(5)的值;
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并證明;
(3)若對于任意給定的正實數(shù)ε,總能找到一個正實數(shù)σ,使得當(dāng)|x-x0|<σ時,|f(x)-f(x0)|<ε,則稱函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù).試證明:f(x)在x=0處連續(xù).
分析:(1)由條件,利用賦值法求f(5).
(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明,將f(x1)轉(zhuǎn)化為條件形式,然后進(jìn)行推理證明.
(3)根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義,任意給定的正實數(shù)ε,確定一個正實數(shù)σ,使得當(dāng)不等式|x-x0|<σ時,|f(x)-f(x0)|<ε成立即可.
解答:解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1且 f(1)=0,
∴令y=1得,f(x+1)=f(x)+f(1)+1=f(x)+1,
∴f(2)=f(1)+1=1,f(3)=f(2)+1=1+1=2,f(4)=f(3)+1=2+1=3,
∴f(5)=f(3)+1=3+1=4.
(2)由(1)得f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,f(5),猜測函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞增.現(xiàn)給出證明:
設(shè)x1>x2,則f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>-1+f(x2)+1,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上單調(diào)遞增.
(3)令y=0,得f(x)=f(x)+f(0)+1,
∴f(0)=-1對任意n∈N*f(1)=f(
1
n
)+f(
n-1
n
)+1=2f(
1
n
)+f(
n-2
n
)+2=…=nf(
1
n
)+f(0)+n=nf(
1
n
)+n-1

f(
1
n
)=
1
n
-1
,
f(n)=f(n-1)+1=f(n-2)+2=…=f(1)+n-1=n-1,
又f(0)=f(x)+f(-x)+1,
∴f(-x)=-2-f(x),
要證|f(x)-f(x0)|<ε?|f(x-x0)+1|<ε?-ε-1<f(x-x0)<ε-1對任意ε>0成立.
①當(dāng)ε∈N*時,取σ=ε,則當(dāng)|x-x0|<σ即-ε<x-x0<ε時,由f(x)單增可得f(-ε)<f(x-x0)<f(ε),
即-2-(ε-1)<f(x-x0)<ε-1;
②當(dāng)ε∉N*時,必存在m∈N,n∈N*使得m+
1
n+1
≤ε<m+
1
n
σ=m+
1
n+1

則當(dāng)|x-x0|<σ即-m-
1
n+1
<x-x0<m+
1
n+1
時,有f(-m-
1
n+1
)<f(x-x0)<f(m+
1
n+1
)

f(m+
1
n+1
)=m+
1
n+1
-1≤ε-1
f(-m-
1
n+1
)=-m-
1
n+1
-1≥-ε-1
,
∴-ε-1<f(x-x0)<ε-1綜上,f(x)在x=x0處連續(xù).
點評:本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法,考查學(xué)生的分析能力.
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1
2

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(2)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)
,sn=b1+b2+…+bn,求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn

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(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù),并作出證明.

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f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.

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