Question

一條螺旋線是用以下方法畫成：△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線CA₁、A₁A₂、A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線，然后又以A為圓心，AA₃為半徑畫弧…，這樣畫到第n圈，則所得螺旋線CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的總長(zhǎng)度S_n為（ ）

A．n（3n+1）π
B．
C．2π（3n-1）
D．n（n+1）π

Answer 1

【答案】分析：由題知如果這樣畫到第n圈得到n條螺旋線，是由3n條弧長(zhǎng)構(gòu)成，這些弧長(zhǎng)的圓心角都為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到這些弧長(zhǎng)是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線的總長(zhǎng)度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．
解答：解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長(zhǎng)度分別為：，，…，，
化簡(jiǎn)得：，2×，3×，…，3n×，此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×+×=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和．解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長(zhǎng)成等差數(shù)列，此題鍛煉了學(xué)生會(huì)經(jīng)過(guò)觀察歸納總結(jié)得出結(jié)論的能力．