已知向量
OA
,
OB
為單位向量,且
OA
OB
=
1
4
,點(diǎn)C是向量
OA
,
OB
的夾角內(nèi)一點(diǎn),|
OC
|=4
,
OC
OB
=
7
2
,若數(shù)列{an}滿足
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
+a1
OA
,則a6=( 。
分析:根據(jù)
OB
OC
=
7
2
列出一個(gè)關(guān)系式①,再根據(jù)
OA
OB
=
1
4
,可以求得
OA
OB
夾角的余弦值,同理可以求出
OB
OC
夾角的余弦值,再根據(jù)角之間的關(guān)系,可以求得
OA
OC
的夾角的余弦值,從而利用
OA
OC
列出一個(gè)等式②,聯(lián)立①②即可得a1和遞推關(guān)系,根據(jù)遞推關(guān)系即可求得.
解答:解:∵
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
+a1
OA
,
OB
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
OB
+a1
OA
OB

∵向量
OA
,
OB
為單位向量,且
OA
OB
=
1
4
,
OC
OB
=
7
2
,
7
2
=
3an+1(an+1)
2an
+
1
4
a1  ①
設(shè)
OA
OB
的夾角為θ,
OB
OC
的夾角為α,
OA
OC
的夾角為β,
OA
OB
=|
OA
||
OB
|cosθ=
1
4
,∴cosθ=
1
4
,∵θ∈[0,π],∴sinθ=
15
4
,
OB
OC
=|
OB
||
OC
|cosα=
7
2
,∴cosα=
7
8
,∵α∈[0,π],∴sinα=
15
8
,
∴cosβ=cos(θ-α)=cosθcosα+sinθsinα=
1
4
×
7
8
+
15
4
×
15
8
=
11
16

OA
OC
=|
OA
||
OC
|cosβ=1×4×
11
16
=
11
4

OA
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OA
OB
+a1
OA
OA
,
11
4
=
3an+1(an+1)
2an
×
1
4
+a1  ②
由①②可解得,a1=2,
3an+1(an+1)
2an
=3,
3an+1(an+1)
2an
=3可得an+1=
2an
an+1
,
a2=
2a1
a1+1
=
4
3
,a3=
2a2
a2+1
=
8
7
,a4=
2a3
a3+1
=
16
15
,a5=
2a4
a4+1
=
32
31
,a6=
2a5
a5+1
=
64
63
,
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)求值、數(shù)列的遞推公式,綜合性非常強(qiáng),對(duì)學(xué)生的要求很高,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
OA
,
OB
的夾角為
π
3
,|
OA
|=4
,|
OB
|=1
,若點(diǎn)M在直線OB上,則|
OA
-
OM
|
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
OA
、
OB
夾角為θ,θ∈(0,
π
2
)
,|
OA
|=3
,點(diǎn)M在直線OB上,且|
OA
+
OM
|
的最小值為
3
2
,則sinθ的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量
OA
OB
關(guān)于y軸對(duì)稱,向量
a
=(1,0),滿足不等式
OA2
+
a
AB
≤0的點(diǎn)A(x,y)的集合為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•盧灣區(qū)二模)已知向量
OA
,
OB
的夾角為
π
3
,
| OA|
=4,
| OB|
=1
,若點(diǎn)M在直線OB上,則|
OA
-
OM
|的最小值為
2
3
2
3

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同步練習(xí)冊(cè)答案