Question

在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C：ρsin²θ=2cosθ，過(guò)點(diǎn)A（5，α）（α為銳角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直線(xiàn)l，且l與曲線(xiàn)C分別交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標(biāo)相同單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的普通方程；
（Ⅱ）求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知求出sinα，cosα的值，則由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線(xiàn)l平行于θ=

π

4

求直線(xiàn)l的斜率，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)l的方程．把曲線(xiàn)C：ρsin²θ=2cosθ兩邊同時(shí)乘以ρ，則曲線(xiàn)C的普通方程可求；
（Ⅱ）直接聯(lián)立直線(xiàn)方程和曲線(xiàn)C的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）∵α為銳角且tanα=

3

4

，
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
由x=5cosα=5×

4

5

=4，y=5sinα=5×

3

5

=3．
∴點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（4，3），
又直線(xiàn)l的斜率k=tan

π

4

=1，
∴直線(xiàn)l的普通方程為y=x-1，
曲線(xiàn)C：ρsin²θ=2cosθ，得ρ²sin²θ=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲線(xiàn)C的普通方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y2=2x y=x-1

，得x²-4x+1=0，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

42-4

=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，訓(xùn)練了利用弦長(zhǎng)公式求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，屬中檔題．