Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，點(diǎn)E為CC₁中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD₁中點(diǎn)．
（1）證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；
（2）求點(diǎn)D₁到面BDE的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證明EF為BD₁與CC₁的公垂線，只須證明EF分別與為BD₁與CC₁垂直即可，可由四邊形EFMC是矩形→EF⊥CC₁．由EF⊥面DBD₁→EF⊥BD₁．
（2）欲求點(diǎn)D₁到面BDE的距離，將距離看成是三棱錐的高，利用等體積法：V_E-DBD1=V_D1-DBE．求解即得．

解答：解：（1）取BD中點(diǎn)M．
連接MC，F(xiàn)M．
∵F為BD₁中點(diǎn)，
∴FM∥D₁D且FM=

1

2

D₁D．
又EC

1

2

CC₁且EC⊥MC，
∴四邊形EFMC是矩形
∴EF⊥CC₁．又FM⊥面DBD₁．
∴EF⊥面DBD₁．
∵BD₁?面DBD₁．∴EF⊥BD₁．
故EF為BD₁與CC₁的公垂線．
（Ⅱ）解：連接ED₁，有V_E-DBD1=V_D1-DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，
設(shè)點(diǎn)D₁到面BDE的距離為d．
則S△DBE•d=S△DBD1•EF．
∵AA₁=2，AB=1．
∴BD=BE=ED=

2

，EF=

2

2

，
∴S△DBD1=

1

2

•

2

•2=

2

．S△DBE=

1

2

•

3

2

•(

2

)2=

3

2

∴d=

2 × 2 2

3 2

=

2 3

3

故點(diǎn)D₁到平面DBE的距離為

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系和四棱柱等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力．