Question

已知：函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設函數．
（1）求a、b的值及函數f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在時恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數g（x）=ax²-2ax+1+b的對稱軸為x=1，由題意得，或 ，解得a、b的值，即可得到函數f（x）的解析式．
（2）不等式即 ，在時，設，則k≤（t-1）²，
根據（t-1）²_min＞0，求得實數k的取值范圍．
解答：解：（1）由于二次函數g（x）=ax²-2ax+1+b的對稱軸為x=1，
由題意得：1°，解得．
或  2°，解得．（舍去） 
∴a=1，b=0…（6分）
故g（x）=x²-2x+1，． …（7分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即，∴．…（10分）
在時，設，∴k≤（t-1）²，
由題意可得，函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，故t≠1，即 ≤t≤2，且t≠1．
∵（t-1）²_min＞0，∴k≤0，即實數k的取值范圍為（-∞，0]．…（14分）
點評：本題主要考查求二次函數在閉區(qū)間上的最值，用待定系數法求函數的解析式，函數的恒成立問題，屬于中檔題．