設A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結論.
k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=
∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，
其充要條件是16b2－16>0, 
即     b2>1           ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0, 從而8b<20,
即     b<2.5            ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得

∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
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