Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a-x}{x}$，其中a為常數(shù)，且a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=$\frac{1}{2}$x+1垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直的條件，解方程可得a=3；
（2）對a討論，當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)1＜a＜2時，當(dāng)a≥2時，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得到單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$（x＞0），
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=$\frac{1}{2}$x+1垂直，
所以f′（1）=-2，
即1-a=-2，解得a=3；                                      
（2）當(dāng)0＜a≤1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=a-1；                                       
當(dāng)1＜a＜2時，由f′（x）=0得，x=a∈（1，2），
對于x∈（1，a）有f′（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)，
對于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）=lna；                                      
當(dāng)a≥2時，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2+$\frac{a}{2}$-1．                            
綜上所述f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{a-1，0＜a＜1}\\{lna，1＜a＜2}\\{ln2+\frac{a}{2}-1，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．