（2012•商丘二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直
徑的圓，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：DC是⊙O的切線(xiàn)；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6
2
，求BC的長(zhǎng)．
分析：（Ⅰ）先得出點(diǎn)C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，從而OC∥AD，結(jié)合AD⊥DC得出DC⊥OC，從而DC是⊙O的切線(xiàn)
（Ⅱ）利用切割線(xiàn)定理求出EA=12，再證出△ECB∽△EAC，得出AC=
2
BC，在RT△ACB中求解．
解答：（Ⅰ）證明：∵⊙O是以AB為直徑的圓，∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC為半徑，∴DC是⊙O的切線(xiàn)．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切線(xiàn)，∴EC2=EB•EA，又∵EB=6，EC=6
2
，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴
BC
AC
=
EC
EA
=
2
2
，AC=
2
BC，
∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線(xiàn)的證明，與圓有關(guān)的線(xiàn)段求解．需掌握切割線(xiàn)定理、弦切角定理等知識(shí)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2012•商丘二模）已知
x2
a2
+
y2
b2
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1
2
)
x-2
 
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（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥
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x2+（a-3）x+1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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