Question

如圖，兩條相交成60°角的直路EF和MN交于O，起初甲在OE上距O點(diǎn)3km的點(diǎn)A處，乙在OM上距O點(diǎn)1km的點(diǎn)B處，現(xiàn)在他們同時(shí)以4km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向．
（1）求行走t小時(shí)后兩人之間的距離（用t表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，甲乙兩人之間的距離最近？

Answer 1

分析：（1）設(shè)t小時(shí)后，他們兩人的位置分別是P、Q，則AP=4t，BQ=4t，分0≤t＜

3

4

，t=

3

4

與t＞

3

4

三種情況討論，即可求得行走t小時(shí)后兩人之間的距離；
（2）由（1）知，當(dāng)0≤t≤

3

4

時(shí)，通過(guò)配方得：PQ=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 4 )2+4

≥2；t＞

3

4

時(shí)，PQ=

48(t- 1 4 )2+4

在（

3

4

，+∞）上為增函數(shù)，從而可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)t小時(shí)后，他們兩人的位置分別是P、Q，則AP=4t，BQ=4t…（1分）
①當(dāng)0≤t＜

3

4

時(shí)，PQ²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）cos60°；
②當(dāng)t=

3

4

時(shí)，PQ=OB+BQ=1+

3

4

×4；
③當(dāng)t＞

3

4

時(shí)，PQ²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°；．
∴PQ=

48t2-24t+7 (0≤t≤ 3 4 ) 4                          (t= 3 4 ) 48t2-24t+7 (t＞ 3 4 )

，…（6分）
（2）由（1）知，當(dāng)0≤t≤

3

4

時(shí)，
PQ=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 4 )2+4

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

4

時(shí)等號(hào)成立）…（9分）
又t＞

3

4

時(shí)，PQ=

48(t- 1 4 )2+4

在（

3

4

，+∞）上為增函數(shù)，
∴PQ＞

48( 3 4 - 1 4 )2+4

=4…（11分）
由上述推理可知，當(dāng)=

1

4

=0.25小時(shí)時(shí)，（PQ）_min=2
即甲、乙兩人之間的距離最小為2km…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查分類討論思想與函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于難題．