Question

已知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）試解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

Answer 1

（1）由題意可得 f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
令y=

1

x

，可得 f（1）=0=f（x）+f（

1

x

），∴f（

1

x

）=-f（x）．
設(shè) x₂＞x₁＞0，則

x2

x1

＞1，∴f（

x2

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
即 f（x₂）＞f（x₁），函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．
由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，
故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．
由

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

 解得 2＜x＜4，故不等式的解集為 （2，4）．