Question

（本小題滿分16分）

設(shè)函數(shù)（其中常數(shù)>0，且≠1）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程（其中常數(shù)）；

（Ⅱ）若函數(shù)在上的最小值是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）x＝lg．

（2）當(dāng)a≥時(shí)，f(x)在(－∞，2]上的最小值與a無(wú)關(guān)

【解析】解 （Ⅰ）f(x)＝

① 當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝＞3．因?yàn)?i>m＞2．則當(dāng)2＜m≤3時(shí)，方程f(x)＝m無(wú)解；

當(dāng)m＞3，由10^x＝，得x＝lg．                           …………………… 1分

② 當(dāng)x≥0時(shí)，10^x≥1．由f(x)＝m得10^x＋＝m，∴(10^x)²－m10^x＋2＝0．

因?yàn)?i>m＞2，判別式＝m²－8＞0，解得10^x＝． …………………… 3分

因?yàn)?i>m＞2，所以＞＞1．所以由10^x＝，解得x＝lg．

令＝1，得m＝3．                              …………………… 4分

所以當(dāng)m＞3時(shí)，＝＜＝1，

當(dāng)2＜m≤3時(shí)，＝＞＝1，解得x＝lg ．…………… 5分

綜上，當(dāng)m＞3時(shí)，方程f(x)＝m有兩解x＝lg 和x＝lg ；

當(dāng)2＜m≤3時(shí)，方程f(x)＝m有兩解x＝lg ．…………………… 6分

(2) （Ⅰ）若0＜a＜1，當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f(x)＝＜3；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝a^x＋．… 7分

令t＝a^x，則t∈[a²，1]，g(t)＝t＋在[a²，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝1，即x＝0時(shí)f(x)取得最小值為3．

當(dāng)t＝a²時(shí)，f(x)取得最大值為．此時(shí)f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，沒(méi)有最小值．…………………………… 9分

（Ⅱ）若a＞1，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝＞3；當(dāng)0≤x≤2時(shí)f(x)＝a^x＋．

令t＝a^x，g(t)＝t＋，則t∈[1，a²]．

① 若a²≤，g(t)＝t＋在[1，a²]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝a²即x＝2時(shí)f(x)取最小值a²＋，最小值與a有關(guān)；…………………………… 11分

② a²≥，g(t)＝t＋在[1，]上單調(diào)遞減，在[，a²]上單調(diào)遞增，…………13分

所以當(dāng)t＝即x＝log_a時(shí)f(x)取最小值2，最小值與a無(wú)關(guān)．……………… 15分

綜上所述，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)在(－∞，2]上的最小值與a無(wú)關(guān)．……………………… 16分