Question

設a為實數(shù)，函數(shù)，x∈R，試討論f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值．

 

Answer 1

時，，時，， 時，．

【解析】

試題分析：因為a為實數(shù)，故在判斷奇偶性時，需對進行分a=0，a≠0兩種情況討論，在求最值時，需對與的關系進行分x≥a、x<a兩種情況討論，當x≥a時，，然后討論與對稱軸的關系，當x<a時，，然后討論與對稱軸的關系。

試題解析：【解析】
當a=0時，f（x）=x2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；

當a≠0時，f（x）=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù)．

（1）當x≥a時，，

[1]時，函數(shù)在上的最小值為，且，

[2]時，函數(shù)在上單調遞增，

在 上的最小值為f（a）=a2+1．

（2）當x<a時，，

[1]時，函數(shù)在上單調遞減，

在上的最小值為f（a）=a2+1

[2]時，函數(shù)在上的最小值為，且，

綜上：時，，時，，

．

考點：（1）偶函數(shù)的定義；（2）分類討論思想；（3）二次函數(shù)的最值問題。