Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，4，能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=2ⁿ-1，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）因?yàn)镾_n=2a_n-n，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15；
（2）猜想 a_n=2ⁿ-1
證明：①n=1時(shí)成立
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=2^k-1
則n=k+1時(shí)，S_k+1=2a_k+1-（k+1），又S_k=2a_k-k
兩式相減得：a_k+1=2a_k+1
由假設(shè)及上式得：ak+1=2(2k-1)+1
即：ak+1=2k+1-1
所以n=k+1時(shí)也成立
由①②知a_n=2ⁿ-1，n∈N₊時(shí)成立

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．