精英家教網(wǎng)如圖,橢圓以邊長為1的正方形ABCD的對角頂點(diǎn)A,C為焦點(diǎn),且經(jīng)過各邊的中點(diǎn),試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求橢圓的方程.
分析:建立如圖所示的坐標(biāo)系,寫出A、C、D、E的坐標(biāo),利用橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,待定系數(shù)法求橢圓的方程.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖所示:以點(diǎn)A,C所在直線為x軸,以線段AC的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
則A(-
2
2
,0)、C(
2
2
,0),D(0,
2
2
),
故CD的中點(diǎn) E(
2
4
,
2
4
),
∵E在橢圓上,由橢圓的定義,
得EA+EC=2a=
(
3
2
4
)
2
+
2
16
+
(-
2
4
)
2
+
2
16

=
5
2
+
1
2
=
1+
5
2

∴a=
1+
5
4

又 c=
2
2
,∴b2=a2-c2=
5
-1
8
,∴橢圓的方程為:
8x2
3+
5
+
32y2
3-
5
=1.
點(diǎn)評:本題考查利用橢圓的定義,用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,屬于中檔題.
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