Question

已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，-1），P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為-

1

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過點(diǎn)（-1，0）的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，△QMN的面積記為S，若對滿足條件的任意直線l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為-

1

2

建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，分別表示出

QM

和

QN

，進(jìn)而可求得

QM

•

QN

；再看直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出

QM

•

QN

判斷出其范圍，綜合求得

QM

•

QN

的最大值，根據(jù)S≤λtanMQN恒成立判斷出

QM

•

QN

≤2λ恒成立．求得λ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則直線PA，PB的斜率分別是

y-1

x

，

y+1

x

．
由條件得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

．
即

x2

2

+y2=1(x≠0)．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x1=x2=-1，y1=-y2，

y

2 1

=

1

2

．
所以

QM

=(x1-2，y1)，

QN

=(x2-2，y2)=(x1-2，-y1)．
所以

QM

•

QN

=(x1-2)2-

y

2 1

=

17

2

．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
所以x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
所以

QM

•

QN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2 ．
因?yàn)閥₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以

QM

•

QN

=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

．
綜上所述

QM

•

QN

的最大值是

17

2

．
因?yàn)镾≤λtanMQN恒成立，
即

1

2

|

QM

|•|

QN

|sinMQN≤λ

sinMQN

cosMQN

恒成立．
由于

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＞0．
所以cosMQN＞0．
所以

QM

•

QN

≤2λ恒成立．
所以λ的最小值為

17

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了知識(shí)的綜合運(yùn)用，分析推理和基本的運(yùn)算能力．