Question

（（本小題滿分12分）

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形.求：

 （1）異面直線與所成角的余弦值；

 （2）二面角的正弦值；

 （3）此幾何體的體積的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

解：方法一（1）取EC的中點(diǎn)是F，連結(jié)BF，

則BF//DE，∴∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………………4分

   （2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．

可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

∴．∴．

∴二面角A—ED—B的正弦值為．………………8分

   （3）

∴幾何體的體積V為16．………………12分

方法二：（坐標(biāo)法）（1）以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4， 2），E（0，0，4）

，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．…………4分

   （2）平面BDE的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，

∴

從而,令，

則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．………………8分

   （3），∴幾何體的體積V為16．………………12分

 

【解析】略