Question

【題目】拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，直線(xiàn)y＝2與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)到F的距離等于2．

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）斜率為k的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AO與直線(xiàn)x＝﹣2相交于點(diǎn)P，求證：BP∥x軸．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出直線(xiàn)y＝2與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，應(yīng)用焦半徑公式，即可求解；

（2）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，建立A、B縱坐標(biāo)關(guān)系，再利用三點(diǎn)共線(xiàn)，求出縱坐標(biāo)關(guān)系，即可證明結(jié)論.

（1）由題意得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)：（，2），

所以2 且p＞0解得：p＝2，

所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程：y2＝4x；

（2）由題意得：直線(xiàn)l的斜率不為零，

設(shè)直線(xiàn)l的方程：x＝my+2，

代入拋物線(xiàn)方程得：y2﹣4my﹣8＝0，

設(shè)A（x0，y0），B（x'，y'），y0y'＝﹣8，y'，

所以B（x'，），直線(xiàn)OA的方程：yxx，

與x＝﹣2的交點(diǎn)P（﹣2，），

BP∥x軸．