Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C 為菱形，B₁C與BC₁交于點(diǎn)O，AO⊥平面BB₁C₁C
（1）求證：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）若AC⊥AB₁，∠BCC₁=120°，BC=1，求點(diǎn)B₁到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明B₁C⊥BC₁，AO⊥B₁C利用直線與平面垂直的判定定理證明B₁C⊥平面ABC₁，然后證明平面A₁B₁C⊥平面ABC₁．
（2）作OD⊥BC，垂足為D，連接AD作OH⊥AD，垂足為H，證明BC⊥平面AOD，得到OH⊥BC，證明OH⊥平面ABC，說(shuō)明△CBB₁為等邊三角形，然后求解點(diǎn)B₁到平面ABC的距離．

解答 （本題滿分12分）
（1）證明：因?yàn)镺為B₁C交BC₁的交點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面BB₁C₁C為菱形，所以B₁C⊥BC₁
…（2分）
又AO⊥平面BB₁C₁C，所以AO⊥B₁C，
即B₁C⊥AO，故B₁C⊥平面ABC₁且AO∩BC₁=0，
由于B₁C?平面A₁B₁C，故平面A₁B₁C⊥平面ABC₁…（5分）
（2）作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，
作OH⊥AD，垂足為H，由于BC⊥AD，BC⊥OD，
故BC⊥平面AOD，所以O(shè)H⊥BC…（7分）
又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC，
因?yàn)椤螩BB₁=60°，所以△CBB₁為等邊三角形，
又BC=1，可得$OD=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
由于OH•AD=OD•OA且$AO=\sqrt{O{D^2}+O{A^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，$OH=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
又O為B₁C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B₁到平面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，點(diǎn)線面距離的求法，考查直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．