Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2，點(diǎn)p在以AB為直徑的半圓上移動，若

AP

=λ

AD

，則λ+μ的最大值是（　�。�

• A、

  2

• B、

  2

  +1
• C、2
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸建立坐標(biāo)系，分別求得A，B，D，設(shè)∠PAB=α（0≤α≤

π

2

），求得P的坐標(biāo)，再由已知條件得到λ+μ=

1

2

+

2sin2α+cos2α

2

，運(yùn)用兩角和的正弦公式，化簡結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答： 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸建立坐標(biāo)系，
則B（2，0），D（0，1），A（0，0），

AB

=（2，0），

AD

=（0，1），
設(shè)∠PAB=α（0≤α≤

π

2

），
則P（2cosαcosα，2cosαsinα）即為

AP

=（1+cos2α，sin2α），
由

AP

=λ

AB

+μ

AD

，可得，
λ=

1+cos2α

2

，μ=sin2α，
即有λ+μ=

1

2

+

2sin2α+cos2α

2

=

1

2

+

5

2

sin（2α+θ），（tanθ=

1

2

，θ為銳角），
當(dāng)且僅當(dāng)2α+θ=

π

2

時，取得最大值，且為

1+ 5

2

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考察正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．