Question

（08年銀川一中三模理）（12分） 已知橢圓C:（a＞b＞0），點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,)在直線x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直線:y=kx+m為動(dòng)直線，且直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B。

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)取何值時(shí)，△ABO的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

解析：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、 ，         ……2分

又，  ,      ………3分

解得，                   

橢圓的方程為 ．                       ………4分

   （Ⅱ）由，得．

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則……5分

．

   （1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則．

   （2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，

由，得       即

點(diǎn)在橢圓上，有，

化簡(jiǎn)，得．

，有．………………①         ……………7分

又，

由，得．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………8分

（Ⅲ），點(diǎn)到直線的距離，

的面積

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化簡(jiǎn)，得．

，．                    ……………………… 11分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分