Question

若函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對一切x＞0，y＞0，滿足f(

x

y

)=f(x)-f(y)，則不等式f(x+6)-f(

1

x

)＜2f(4)的解為（　�。�

A．（-8，2）

B．（2，8）

C．（0，2）

D．（0，8）

Answer 1

分析：采用賦值法求出f（1）的值；且根據(jù)f（

x

y

）=f（x）-f（y），得到f（x）+f（y）=f（x•y），將所求不等式變形，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．

解答：解：∵對一切x＞0，y＞0滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴對一切x＞0，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），且f（1）=0，
∴f（x+6）-f（

1

x

）＜2f（4）變形為：f（x+6）+f（x）＜f（16），
即f[x（x+6）]＜f（16），又函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴x（x+6）＜16，即（x-2）（x+8）＜0，
解得：-8＜x＜2，又x＞0，
則所求不等式的解集為（0，2）．
故選C

點(diǎn)評：此題考查了其他不等式的解法，利用了賦值法，賦值法是解決抽象函數(shù)常用的方法．抽象函數(shù)是以具體函數(shù)為背景的，“任意x＞0，y＞0時(shí)，f（x）+f（y）=f（x•y）”的背景函數(shù)是f（x）=log_ax（a＞0），我們可以構(gòu)造背景函數(shù)來幫助分析解題思路．